Найти производную: алгоритм и примеры решений. Правила вычисления производных Нахождение производной произведения

Запомнить очень легко.

Ну и не будем далеко ходить, сразу же рассмотрим обратную функцию. Какая функция является обратной для показательной функции? Логарифм:

В нашем случае основанием служит число:

Такой логарифм (то есть логарифм с основанием) называется «натуральным», и для него используем особое обозначение: вместо пишем.

Чему равен? Конечно же, .

Производная от натурального логарифма тоже очень простая:

Примеры:

1. Найди производную функции.
2. Чему равна производная функции?

Ответы: Экспонента и натуральный логарифм - функции уникально простые с точки зрения производной. Показательные и логарифмические функции с любым другим основанием будут иметь другую производную, которую мы с тобой разберем позже, после того как пройдем правила дифференцирования.

Правила дифференцирования

Правила чего? Опять новый термин, опять?!...

Дифференцирование - это процесс нахождения производной.

Только и всего. А как еще назвать этот процесс одним словом? Не производнование же... Дифференциалом математики называют то самое приращение функции при. Происходит этот термин от латинского differentia — разность. Вот.

При выводе всех этих правил будем использовать две функции, например, и. Нам понадобятся также формулы их приращений:

Всего имеется 5 правил.

Константа выносится за знак производной.

Если - какое-то постоянное число (константа), тогда.

Очевидно, это правило работает и для разности: .

Докажем. Пусть, или проще.

Примеры.

Найдите производные функций:

1. в точке;
2. в точке;
3. в точке;
4. в точке.

Решения:

1. (производная одинакова во всех точках, так как это линейная функция, помнишь?);

Производная произведения

Здесь все аналогично: введем новую функцию и найдем ее приращение:

Производная:

Примеры:

1. Найдите производные функций и;
2. Найдите производную функции в точке.

Решения:

Производная показательной функции

Теперь твоих знаний достаточно, чтобы научиться находить производную любой показательной функции, а не только экспоненты (не забыл еще, что это такое?).

Итак, где - это какое-то число.

Мы уже знаем производную функции, поэтому давай попробуем привести нашу функцию к новому основанию:

Для этого воспользуемся простым правилом: . Тогда:

Ну вот, получилось. Теперь попробуй найти производную, и не забудь, что эта функция - сложная.

Получилось?

Вот, проверь себя:

Формула получилась очень похожая на производную экспоненты: как было, так и осталось, появился только множитель, который является просто числом, но не переменной.

Примеры:
Найди производные функций:

Ответы:

Это просто число, которое невозможно посчитать без калькулятора, то есть никак не записать в более простом виде. Поэтому в ответе его в таком виде и оставляем.

Заметим, что здесь частное двух функций, поэтому применим соответствующее правило дифференцирования:

В этом примере произведение двух функций:

Производная логарифмической функции

Здесь аналогично: ты уже знаешь производную от натурального логарифма:

Поэтому, чтобы найти произвольную от логарифма с другим основанием, например, :

Нужно привести этот логарифм к основанию. А как поменять основание логарифма? Надеюсь, ты помнишь эту формулу:

Только теперь вместо будем писать:

В знаменателе получилась просто константа (постоянное число, без переменной). Производная получается очень просто:

Производные показательной и логарифмической функций почти не встречаются в ЕГЭ, но не будет лишним знать их.

Производная сложной функции.

Что такое «сложная функция»? Нет, это не логарифм, и не арктангенс. Данные функции может быть сложны для понимания (хотя, если логарифм тебе кажется сложным, прочти тему «Логарифмы» и все пройдет), но с точки зрения математики слово «сложная» не означает «трудная».

Представь себе маленький конвейер: сидят два человека и проделывают какие-то действия с какими-то предметами. Например, первый заворачивает шоколадку в обертку, а второй обвязывает ее ленточкой. Получается такой составной объект: шоколадка, обернутая и обвязанная ленточкой. Чтобы съесть шоколадку, тебе нужно проделать обратные действия в обратном порядке.

Давай создадим подобный математический конвейер: сперва будем находить косинус числа, а затем полученное число возводить в квадрат. Итак, нам дают число (шоколадка), я нахожу его косинус (обертка), а ты затем возводишь то, что у меня получилось, в квадрат (обвязываешь ленточкой). Что получилось? Функция. Это и есть пример сложной функции: когда для нахождения ее значения мы проделываем первое действие непосредственно с переменной, а потом еще второе действие с тем, что получилось в результате первого.

Другими словами, сложная функция - это функция, аргументом которой является другая функция : .

Для нашего примера, .

Мы вполне можем проделывать те же действия и в обратном порядке: сначала ты возводишь в квадрат, а я затем ищу косинус полученного числа: . Несложно догадаться, что результат будет почти всегда разный. Важная особенность сложных функций: при изменении порядка действий функция меняется.

Второй пример: (то же самое). .

Действие, которое делаем последним будем называть «внешней» функцией , а действие, совершаемое первым - соответственно «внутренней» функцией (это неформальные названия, я их употребляю только для того, чтобы объяснить материал простым языком).

Попробуй определить сам, какая функция является внешней, а какая внутренней:

Ответы: Разделение внутренней и внешней функций очень похоже на замену переменных: например, в функции

1. Первым будем выполнять какое действие? Сперва посчитаем синус, а только потом возведем в куб. Значит, внутренняя функция, а внешняя.
   А исходная функция является их композицией: .
2. Внутренняя: ; внешняя: .
   Проверка: .
3. Внутренняя: ; внешняя: .
   Проверка: .
4. Внутренняя: ; внешняя: .
   Проверка: .
5. Внутренняя: ; внешняя: .
   Проверка: .

производим замену переменных и получаем функцию.

Ну что ж, теперь будем извлекать нашу шоколадку - искать производную. Порядок действий всегда обратный: сначала ищем производную внешней функции, затем умножаем результат на производную внутренней функции. Применительно к исходному примеру это выглядит так:

Другой пример:

Итак, сформулируем, наконец, официальное правило:

Алгоритм нахождения производной сложной функции:

Вроде бы всё просто, да?

Проверим на примерах:

Решения:

1) Внутренняя: ;

Внешняя: ;

2) Внутренняя: ;

(только не вздумай теперь сократить на! Из под косинуса ничего не выносится, помнишь?)

3) Внутренняя: ;

Внешняя: ;

Сразу видно, что здесь трёхуровневая сложная функция: ведь - это уже сама по себе сложная функция, а из нее еще извлекаем корень, то есть выполняем третье действие (шоколадку в обертке и с ленточкой кладем в портфель). Но пугаться нет причин: все-равно «распаковывать» эту функцию будем в том же порядке, что и обычно: с конца.

То есть сперва продифференцируем корень, затем косинус, и только потом выражение в скобках. А потом все это перемножим.

В таких случаях удобно пронумеровать действия. То есть, представим, что нам известен. В каком порядке будем совершать действия, чтобы вычислить значение этого выражения? Разберем на примере:

Чем позже совершается действие, тем более «внешней» будет соответствующая функция. Последовательность действий - как и раньше:

Здесь вложенность вообще 4-уровневая. Давай определим порядок действий.

1. Подкоренное выражение. .

2. Корень. .

3. Синус. .

4. Квадрат. .

5. Собираем все в кучу:

ПРОИЗВОДНАЯ. КОРОТКО О ГЛАВНОМ

Производная функции - отношение приращения функции к приращению аргумента при бесконечно малом приращении аргумента:

Базовые производные:

Правила дифференцирования:

Константа выносится за знак производной:

Производная суммы:

Производная произведения:

Производная частного:

Производная сложной функции:

Алгоритм нахождения производной от сложной функции:

1. Определяем «внутреннюю» функцию, находим ее производную.
2. Определяем «внешнюю» функцию, находим ее производную.
3. Умножаем результаты первого и второго пунктов.

В этом уроке мы продолжаем изучать производные функций и переходим к более сложной теме, а именно, к производным произведения и частного. Если вы смотрели предыдущий урок, то наверняка поняли, что мы рассматривали лишь самые простые конструкции, а именно, производную степенной функции, суммы и разности. В частности, мы узнали, что производная суммы равна их сумме, а производная разности равна, соответственно, их разности. К сожалению, в случае с производными частного и произведения формулы будут гораздо сложнее. Начнем мы именно с формулы производной произведения функций.

Производные тригонометрических функций

Для начала позволю себе небольшое лирическое отступление. Дело в том, что помимо стандартной степенной функции — $y={{x}^{n}}$, в этом уроке будут встречаться и другие функции, а именно, $y=\sin x$, а также $y=\cos x$ и прочая тригонометрия — $y=tgx$ и, разумеется, $y=ctgx$.

Если производную степенной функции мы все прекрасно знаем, а именно $\left({{x}^{n}} \right)=n\cdot {{x}^{n-1}}$, то, что касается тригонометрических функций, нужно упомянуть отдельно. Давайте запишем:

\[\begin{align}& {{\left(\sinx \right)}^{\prime }}=\cosx \\& {{\left(\cos x \right)}^{\prime }}=-\sin x \\& {{\left(tgx \right)}^{\prime }}=\frac{1}{{{\cos }^{2}}x} \\& {{\left(ctgx \right)}^{\prime }}=\frac{1}{{{\cos }^{2}}x} \\\end{align}\]

Но эти формулы вы прекрасно знаете, давайте пойдем дальше.

Что такое производная произведения?

Для начала самое главное: если функция представляет собой произведение двух других функций, например, $f\cdot g$, то производная этой конструкции будет равна следующему выражению:

Как видите, эта формула значительно отличается и является более сложной, нежели те формулы, которые мы рассматривали ранее. Например, производная суммы считается элементарно —${{\left(f+g \right)}^{\prime }}={f}"+{g}"$, либо производная разности, которая тоже элементарно считается ― ${{\left(f-g \right)}^{\prime }}={f}"-{g}"$.

Давайте попробуем применить первую формулу для вычисления производных двух функций, которые нам даны в задаче. Начнем с первого примера:

Очевидно, что в качестве произведения, точнее, в качестве множителя, выступает следующая конструкция: ${{x}^{3}}$, мы можем рассматривать в качестве $f$, а $\left(x-5 \right)$ мы можем рассматривать в качестве $g$. Тогда их произведение как раз и будет произведением двух функций. Решаем:

\[\begin{align}& {{\left({{x}^{3}}\cdot \left(x-5 \right) \right)}^{\prime }}={{\left({{x}^{3}} \right)}^{\prime }}\cdot \left(x-5 \right)+{{x}^{3}}\cdot {{\left(x-5 \right)}^{\prime }}= \\& =3{{x}^{2}}\cdot \left(x-5 \right)+{{x}^{3}}\cdot 1 \\\end{align}\].

Теперь давайте внимательно посмотрим на каждое из наших слагаемых. Мы видим, что и в первом, и во втором слагаемом присутствует степень $x$: в первом случае это ${{x}^{2}}$, а во втором — ${{x}^{3}}$. Давайте вынесем наименьшую степень за скобки, в скобке останется:

\[\begin{align}& 3{{x}^{2}}\cdot \left(x-5 \right)+{{x}^{3}}\cdot 1={{x}^{2}}\left(3\cdot 1\left(x-5 \right)+x \right)= \\& ={{x}^{2}}\left(3x-15+x \right)={{x}^{2}}(4x-15) \\\end{align}\]

Все, мы нашли ответ.

Возвращаемся к нашим задачам и попробуем решить:

Итак, переписываем:

Опять же замечаем, что речь идет о произведении произведения двух функций: $x$, которую можно обозначить за $f$, и $\left(\sqrt{x}-1 \right)$, которую можно обозначить за $g$.

Таким образом, перед нами вновь произведение двух функций. Для нахождения производной функции $f\left(x \right)$ вновь воспользуемся нашей формулой. Получим:

\[\begin{align}& {f}"=\left(x \right)"\cdot \left(\sqrt{x}-1 \right)+x\cdot {{\left(\sqrt{x}-1 \right)}^{\prime }}=1\cdot \left(\sqrt{x}-1 \right)+x\frac{1}{3\sqrt{x}}= \\& =\sqrt{x}-1+\sqrt{x}\cdot \frac{1}{3}=\frac{4}{3}\sqrt{x}-1 \\\end{align}\]

Ответ найден.

Зачем раскладывать производные на множители?

Только что мы использовали несколько очень важных математических фактов, которые сами по себе не имеют отношения к производным, однако без их знания все дальнейшее изучение этой темы просто не имеет смысла.

Во-первых, решая самую первую задачу и, уже избавившись от всех знаков производных, мы зачем-то начали раскладывать это выражение на множители.

Во-вторых, решая следующую задачу, мы несколько раз переходили от корня к степени с рациональным показателем и обратно, при этом используя формулу 8-9-го класса, которую стоило бы повторить отдельно.

По поводу разложения на множители ― зачем вообще нужны все эти дополнительные усилия и преобразования? На самом деле, если в задаче просто сказано «найти производную функции», то эти дополнительные действия не требуются. Однако в реальных задачах, которые ждут вас на всевозможных экзаменах и зачетах, просто найти производную зачастую недостаточно. Дело в том, что производная является лишь инструментом, с помощью которой можно узнать, например, возрастание или убывание функции, а для этого требуется решать уравнение, раскладывать его на множители. И вот здесь этот прием будет очень уместен. Да и вообще, с функцией, разложенной на множители, гораздо удобней и приятней работать в дальнейшем, если требуются какие-то преобразования. Поэтому правило № 1: если производную можно разложить на множители, именно так и стоит поступать. И сразу правило № 2 (по сути, это материал 8-9-го класса): если в задаче встречается корень n -ной степени, причем, корень явно больше двух, то этот корень можно заменить обычной степенью с рациональным показателем, причем в показателе появится дробь, где n ― та самая степень ― окажется в знаменателе этой дроби.

Разумеется, если под корнем присутствует какая-то степень (в нашем случае это степень k ), то она никуда не девается, а просто оказывается в числителе этой самой степени.

А теперь, когда вы все это поняли, давайте вернемся к производным произведения и посчитаем еще несколько уравнений.

Но прежде чем переходить непосредственно к вычислениям, хотел бы напомнить такие закономерности:

\[\begin{align}& {{\left(\sin x \right)}^{\prime }}=\cos x \\& {{\left(\cos x \right)}^{\prime }}=-\sin x \\& \left(tgx \right)"=\frac{1}{{{\cos }^{2}}x} \\& {{\left(ctgx \right)}^{\prime }}=-\frac{1}{{{\sin }^{2}}x} \\\end{align}\]

Считаем первый пример:

У нас опять произведение двух функций: первая ― $f$, вторая ― $g$. Напомню формулу:

\[{{\left(f\cdot g \right)}^{\prime }}={f}"\cdot g+f\cdot {g}"\]

Давайте решим:

\[\begin{align}& {y}"={{\left({{x}^{4}} \right)}^{\prime }}\cdot \sin x+{{x}^{4}}\cdot {{\left(\sin x \right)}^{\prime }}= \\& =3{{x}^{3}}\cdot \sin x+{{x}^{4}}\cdot \cos x={{x}^{3}}\left(3\sin x+x\cdot \cos x \right) \\\end{align}\]

Переходим ко второй функции:

Опять же, $\left(3x-2 \right)$ ― это функция $f$, $\cos x$ ― это функция $g$. Итого производная произведения двух функций будет равна:

\[\begin{align}& {y}"={{\left(3x-2 \right)}^{\prime }}\cdot \cos x+\left(3x-2 \right)\cdot {{\left(\cos x \right)}^{\prime }}= \\& =3\cdot \cos x+\left(3x-2 \right)\cdot \left(-\sin x \right)=3\cos x-\left(3x-2 \right)\cdot \sin x \\\end{align}\]

\[{y}"={{\left({{x}^{2}}\cdot \cos x \right)}^{\prime }}+{{\left(4x\sin x \right)}^{\prime }}\]

Выпишем по отдельности:

\[\begin{align}& {{\left({{x}^{2}}\cdot \cos x \right)}^{\prime }}=\left({{x}^{2}} \right)"\cos x+{{x}^{2}}\cdot {{\left(\cos x \right)}^{\prime }}= \\& =2x\cdot \cos x+{{x}^{2}}\cdot \left(-\sin x \right)=2x\cdot \cos x-{{x}^{2}}\cdot \sin x \\\end{align}\]

На множители мы это выражение не раскладываем, потому что это еще не окончательный ответ. Сейчас нам предстоит решить вторую часть. Выписываем ее:

\[\begin{align}& {{\left(4x\cdot \sin x \right)}^{\prime }}={{\left(4x \right)}^{\prime }}\cdot \sin x+4x\cdot {{\left(\sin x \right)}^{\prime }}= \\& =4\cdot \sin x+4x\cdot \cos x \\\end{align}\]

А теперь возвращаемся к нашей изначальной задаче и собираем все в единую конструкцию:

\[\begin{align}& {y}"=2x\cdot \cos x-{{x}^{2}}\cdot \sin x+4\sin x+4x\cos x=6x\cdot \cos x= \\& =6x\cdot \cos x-{{x}^{2}}\cdot \sin x+4\sin x \\\end{align}\]

Все, это окончательный ответ.

Переходим к последнему примеру ― он будет самым сложным и самым объемным по вычислениям. Итак, пример:

\[{y}"={{\left({{x}^{2}}\cdot tgx \right)}^{\prime }}-{{\left(2xctgx \right)}^{\prime }}\]

Считаем каждую часть отдельно:

\[\begin{align}& {{\left({{x}^{2}}\cdot tgx \right)}^{\prime }}={{\left({{x}^{2}} \right)}^{\prime }}\cdot tgx+{{x}^{2}}\cdot {{\left(tgx \right)}^{\prime }}= \\& =2x\cdot tgx+{{x}^{2}}\cdot \frac{1}{{{\cos }^{2}}x} \\\end{align}\]

\[\begin{align}& {{\left(2x\cdot ctgx \right)}^{\prime }}={{\left(2x \right)}^{\prime }}\cdot ctgx+2x\cdot {{\left(ctgx \right)}^{\prime }}= \\& =2\cdot ctgx+2x\left(-\frac{1}{{{\sin }^{2}}x} \right)=2\cdot ctgx-\frac{2x}{{{\sin }^{2}}x} \\\end{align}\]

Возвращаясь к исходной функции, посчитаем ее производную в целом:

\[\begin{align}& {y}"=2x\cdot tgx+\frac{{{x}^{2}}}{{{\cos }^{2}}x}-\left(2ctgx-\frac{2x}{{{\sin }^{2}}x} \right)= \\& =2x\cdot tgx+\frac{{{x}^{2}}}{{{\cos }^{2}}x}-2ctgx+\frac{2x}{{{\sin }^{2}}x} \\\end{align}\]

Вот, собственно, и все, что я хотел рассказать по производным произведения. Как видите, основная проблема формулы состоит не в том, чтобы ее заучить, а в том, что получается довольно большой объем вычислений. Но это нормально, потому что сейчас мы переходим к производной частного, где нам придется очень сильно потрудиться.

Что представляет собой производная частного?

Итак, формула производной частного. Пожалуй, это самая сложная формула в школьном курсе производных. Допустим, у нас есть функция вида $\frac{f}{g}$, где $f$ и $g$ ― также функции, с которых тоже можно снять штрих. Тогда она будет считаться по следующей формуле:

Числитель чем-то напоминает нам формулу производной произведения, однако между слагаемыми стоит знак «минус» и еще в знаменателе добавился квадрат исходного знаменателя. Давайте посмотрим, как это работает на практике:

Попытаемся решить:

\[{f}"={{\left(\frac{{{x}^{2}}-1}{x+2} \right)}^{\prime }}=\frac{{{\left({{x}^{2}}-1 \right)}^{\prime }}\cdot \left(x+2 \right)-\left({{x}^{2}}-1 \right)\cdot {{\left(x+2 \right)}^{\prime }}}{{{\left(x+2 \right)}^{2}}}\]

Предлагаю выписать каждую часть отдельно и записать:

\[\begin{align}& {{\left({{x}^{2}}-1 \right)}^{\prime }}={{\left({{x}^{2}} \right)}^{\prime }}-{1}"=2x \\& {{\left(x+2 \right)}^{\prime }}={x}"+{2}"=1 \\\end{align}\]

Переписываем наше выражение:

\[\begin{align}& {f}"=\frac{2x\cdot \left(x+2 \right)-\left({{x}^{2}}-1 \right)\cdot 1}{{{\left(x+2 \right)}^{2}}}= \\& =\frac{2{{x}^{2}}+4x-{{x}^{2}}+1}{{{\left(x+2 \right)}^{2}}}=\frac{{{x}^{2}}+4x+1}{{{\left(x+2 \right)}^{2}}} \\\end{align}\]

Мы нашли ответ. Переходим ко второй функции:

Судя по тому, что в ее числителе стоит просто единица, то здесь вычисления будут чуть проще. Итак, запишем:

\[{y}"={{\left(\frac{1}{{{x}^{2}}+4} \right)}^{\prime }}=\frac{{1}"\cdot \left({{x}^{2}}+4 \right)-1\cdot {{\left({{x}^{2}}+4 \right)}^{\prime }}}{{{\left({{x}^{2}}+4 \right)}^{2}}}\]

Посчитаем каждую часть примера отдельно:

\[\begin{align}& {1}"=0 \\& {{\left({{x}^{2}}+4 \right)}^{\prime }}={{\left({{x}^{2}} \right)}^{\prime }}+{4}"=2x \\\end{align}\]

Переписываем наше выражение:

\[{y}"=\frac{0\cdot \left({{x}^{2}}+4 \right)-1\cdot 2x}{{{\left({{x}^{2}}+4 \right)}^{2}}}=-\frac{2x}{{{\left({{x}^{2}}+4 \right)}^{2}}}\]

Мы нашли ответ. Как и предполагалось, объем вычисления оказался существенно меньше, чем для первой функции.

В чем разница между обозначениями?

У внимательных учеников наверняка уже возник вопрос: почему в одних случаях мы обозначаем функцию как $f\left(x \right)$, а в других случаях пишем просто $y$? На самом деле, с точки зрения математики нет абсолютно никакой разницы ― вы вправе использовать как первое обозначение, так и второе, при этом никаких штрафных санкций на экзаменах и зачетах не последует. Для тех, кому все-таки интересно, поясню, почему авторы учебников и задач в одних случаях пишут $f\left(x \right)$, а в других (гораздо более частых) ― просто $y$. Дело в том, что записывая функцию в виде\, мы неявно намекаем тому, кто будет читать наши выкладки, что речь идет именно об алгебраической интерпретации функциональной зависимости. Т. е., есть некая переменная $x$, мы рассматриваем зависимость от этой переменной и обозначаем ее $f\left(x \right)$. При этом, увидев вот такое обозначение, тот, кто будет читать ваши выкладки, например, проверяющий, будет подсознательно ожидать, что в дальнейшем его ждут лишь алгебраические преобразования ― никаких графиков и никакой геометрии.

С другой стороны, используя обозначения вида\, т. е., обозначая переменную одной единственной буквой, мы сразу даем понять, что в дальнейшем нас интересует именно геометрическая интерпретация функции, т. е., нас интересует, в первую очередь, ее график. Соответственно, столкнувшись с записью вида\, читатель вправе ожидать графических выкладок, т. е., графиков, построений и т. д., но, ни в коем случае, не аналитических преобразований.

Еще хотел бы обратить ваше внимание на одну особенность оформления задач, которые мы сегодня рассматриваем. Многие ученики считают, что я привожу слишком подробные выкладки, и многие из них можно было бы пропустить или просто решить в уме. Однако именно такая подробная запись позволит вам избавится от обидных ошибок и значительно увеличит процент правильно решенных задач, например, в случае самостоятельной подготовки к контрольным или экзаменам. Поэтому если вы еще неуверенны в своих силах, если вы только начинаете изучать данную тему, не спешите ― подробно расписывайте каждый шаг, выписывайте каждый множитель, каждый штрих, и очень скоро вы научитесь решать такие примеры лучше, чем многие школьные учителя. Надеюсь, это понятно. Давайте посчитаем еще несколько примеров.

Несколько интересных задач

На этот раз, как мы видим, в составе вычисляемых производных присутствует тригонометрия. Поэтому напомню следующее:

\[\begin{align}& (sinx{)}"=\cos x \\& {{\left(\cos x \right)}^{\prime }}=-\sin x \\\end{align}\]

Конечно, нам не обойтись и без производной частного, а именно:

\[{{\left(\frac{f}{g} \right)}^{\prime }}=\frac{{f}"\cdot g-f\cdot {g}"}{{{g}^{2}}}\]

Считаем первую функцию:

\[\begin{align}& {f}"={{\left(\frac{\sin x}{x} \right)}^{\prime }}=\frac{{{\left(\sin x \right)}^{\prime }}\cdot x-\sin x\cdot \left({{x}"} \right)}{{{x}^{2}}}= \\& =\frac{x\cdot \cos x-1\cdot \sin x}{{{x}^{2}}}=\frac{x\cos x-\sin x}{{{x}^{2}}} \\\end{align}\]

Вот мы и нашли решение этого выражения.

Переходим ко второму примеру:

Очевидно, что ее производная будет более сложной уже хотя бы потому, что и в числителе, и в знаменателе данной функции присутствует тригонометрия. Решаем:

\[{y}"={{\left(\frac{x\sin x}{\cos x} \right)}^{\prime }}=\frac{{{\left(x\sin x \right)}^{\prime }}\cdot \cos x-x\sin x\cdot {{\left(\cos x \right)}^{\prime }}}{{{\left(\cos x \right)}^{2}}}\]

Заметим, что у нас возникает производная произведения. В этом случае она будет равна:

\[\begin{align}& {{\left(x\cdot \sin x \right)}^{\prime }}={x}"\cdot \sin x+x{{\left(\sin x \right)}^{\prime }}= \\& =\sin x+x\cos x \\\end{align}\]

Возвращаемся к нашим вычислениям. Записываем:

\[\begin{align}& {y}"=\frac{\left(\sin x+x\cos x \right)\cos x-x\cdot \sin x\cdot \left(-\sin x \right)}{{{\cos }^{2}}x}= \\& =\frac{\sin x\cdot \cos x+x{{\cos }^{2}}x+x{{\sin }^{2}}x}{{{\cos }^{2}}x}= \\& =\frac{\sin x\cdot \cos x+x\left({{\sin }^{2}}x+{{\cos }^{2}}x \right)}{{{\cos }^{2}}x}=\frac{\sin x\cdot \cos x+x}{{{\cos }^{2}}x} \\\end{align}\]

Вот и все! Мы посчитали.

Как свести производную частного к простой формуле производной произведения?

И вот тут хотелось бы сделать одно очень важное замечание, касающееся именно тригонометрических функций. Дело в том, что наша исходная конструкция содержит в себе выражение вида $\frac{\sin x}{\cos x}$, которую легко можно заменить просто $tgx$. Таким образом, мы сведем производную частного к более простой формуле производной произведения. Вот давайте посчитаем этот пример еще раз и сравним результаты.

Итак, теперь нам нужно учесть следующее:

\[\frac{\sin x}{\cos x}=tgx\]

Перепишем нашу исходную функцию $y=\frac{x\sin x}{\cos x}$ с учетом этого факта. Получим:

Давайте посчитаем:

\[\begin{align}& {y}"={{\left(x\cdot tgx \right)}^{\prime }}{x}"\cdot tgx+x{{\left(tgx \right)}^{\prime }}=tgx+x\frac{1}{{{\cos }^{2}}x}= \\& =\frac{\sin x}{\cos x}+\frac{x}{{{\cos }^{2}}x}=\frac{\sin x\cdot \cos x+x}{{{\cos }^{2}}x} \\\end{align}\]

Теперь, если мы сравним полученный результат с тем, что мы получили ранее, при вычислении по другому пути, то мы убедимся, что получили одно и то же выражение. Таким образом, каким бы путем мы не шли при вычислении производной, если все посчитано верно, то ответ будет одним и тем же.

Важные нюансы при решении задач

В заключении хотел бы рассказать вам еще одну тонкость, связанную с вычислением производной частного. То, что я вам сейчас расскажу, не было в изначальном сценарии видеоурока. Однако за пару часов до съемок я занимался с одним из своих учеников, и мы как раз разбирали тему производных частного. И, как выяснилось, этот момент многие ученики не понимают. Итак, допустим, нам нужно посчитать снять штрих следующей функции:

В принципе, ничего сверхъестественного на первый взгляд в ней нет. Однако в процессе вычисления мы можем допустить много глупых и обидных ошибок, которые я бы хотел сейчас разобрать.

Итак, считаем эту производную. Прежде всего, заметим, что у нас присутствует слагаемое $3{{x}^{2}}$, поэтому уместно вспомнить следующую формулу:

\[{{\left({{x}^{n}} \right)}^{\prime }}=n\cdot {{x}^{n-1}}\]

Кроме того, у нас присутствует слагаемое $\frac{48}{x}$ ― с ним мы будем разбираться через производную частного, а именно:

\[{{\left(\frac{f}{g} \right)}^{\prime }}=\frac{{f}"\cdot g-f\cdot {g}"}{{{g}^{2}}}\]

Итак, решаем:

\[{y}"={{\left(\frac{48}{x} \right)}^{\prime }}+{{\left(3{{x}^{2}} \right)}^{\prime }}+10{0}"\]

С первым слагаемым никаких проблем, смотрите:

\[{{\left(3{{x}^{2}} \right)}^{\prime }}=3\cdot {{\left({{x}^{2}} \right)}^{\prime }}=3k.2x=6x\]

А вот с первым слагаемым, $\frac{48}{x}$, нужно поработать отдельно. Дело в том, что многие ученики путают ситуацию, когда нужно найти ${{\left(\frac{x}{48} \right)}^{\prime }}$и когда нужно найти ${{\left(\frac{48}{x} \right)}^{\prime }}$. Т. е., они путаются, когда константа стоит в знаменателе, и когда константа стоит в числителе, соответственно, когда переменная стоит в числителе, либо в знаменателе.

Для начала проработаем первый вариант:

\[{{\left(\frac{x}{48} \right)}^{\prime }}={{\left(\frac{1}{48}\cdot x \right)}^{\prime }}=\frac{1}{48}\cdot {x}"=\frac{1}{48}\cdot 1=\frac{1}{48}\]

С другой стороны, если мы попробуем аналогично поступить и со второй дробью, то получим следующее:

\[\begin{align}& {{\left(\frac{48}{x} \right)}^{\prime }}={{\left(48\cdot \frac{1}{x} \right)}^{\prime }}=48\cdot {{\left(\frac{1}{x} \right)}^{\prime }}= \\& =48\cdot \frac{{1}"\cdot x-1\cdot {x}"}{{{x}^{2}}}=48\cdot \frac{-1}{{{x}^{2}}}=-\frac{48}{{{x}^{2}}} \\\end{align}\]

Однако тот же самый пример можно было посчитать и иначе: на этапе, где мы переходили к производной частного, можно рассмотреть $\frac{1}{x}$ как степень с отрицательным показателем, т. е., мы получим следующее:

\[\begin{align}& 48\cdot {{\left(\frac{1}{x} \right)}^{\prime }}=48\cdot {{\left({{x}^{-1}} \right)}^{\prime }}=48\cdot \left(-1 \right)\cdot {{x}^{-2}}= \\& =-48\cdot \frac{1}{{{x}^{2}}}=-\frac{48}{{{x}^{2}}} \\\end{align}\]

И так, и так мы получили один и тот же ответ.

Таким образом, мы еще раз убедились в двух важных фактах. Во-первых, одну и ту же производную можно посчитать совершенно различными способами. Например, ${{\left(\frac{48}{x} \right)}^{\prime }}$ можно рассматривать и как производную частного, и как производную степенной функции. При этом если все вычисления выполнены верно, то ответ всегда получится одним и тем же. Во-вторых, при вычислении производных, содержащих и переменную, и константу, принципиально важным является то, где находится переменная ― в числителе или в знаменателе. В первом случае, когда переменная находится в числителе, мы получаем простую линейную функцию, которая элементарно считается. А в случае, если переменная стоит в знаменателе, то мы получаем более сложное выражение с сопутствующими выкладками, приведенными ранее.

На этом урок можно считать законченным, поэтому если вам что-то непонятно по производным частного или произведения, да и вообще, если у вас есть любые вопросы по этой теме, не стесняйтесь ― заходите на мой сайт, пишите, звоните, и я обязательно постараюсь вам помочь.

Сами по себе производные ― тема отнюдь не сложная, но очень объемная, и то, что мы сейчас изучаем, будет использоваться в будущем при решении более сложных задач. Именно поэтому все недопонимания, связанные с вычислениями производных частного или произведения, лучше выявить немедленно, прямо сейчас. Не когда они представляют собой огромный снежный ком недопонимания, а когда представляют собой маленький теннисный шарик, с которым легко разобраться.

Если следовать определению, то производная функции в точке — это предел отношения приращения функции Δy к приращению аргумента Δx :

Вроде бы все понятно. Но попробуйте посчитать по этой формуле, скажем, производную функции f (x ) = x 2 + (2x + 3) · e x · sin x . Если все делать по определению, то через пару страниц вычислений вы просто уснете. Поэтому существуют более простые и эффективные способы.

Для начала заметим, что из всего многообразия функций можно выделить так называемые элементарные функции. Это относительно простые выражения, производные которых давно вычислены и занесены в таблицу. Такие функции достаточно просто запомнить — вместе с их производными.

Производные элементарных функций

Элементарные функции — это все, что перечислено ниже. Производные этих функций надо знать наизусть. Тем более что заучить их совсем несложно — на то они и элементарные.

Итак, производные элементарных функций:

Если элементарную функцию умножить на произвольную постоянную, то производная новой функции тоже легко считается:

(C · f )’ = C · f ’.

В общем, константы можно выносить за знак производной. Например:

(2x 3)’ = 2 · (x 3)’ = 2 · 3x 2 = 6x 2 .

Очевидно, элементарные функции можно складывать друг с другом, умножать, делить — и многое другое. Так появятся новые функции, уже не особо элементарные, но тоже дифференцируемые по определенным правилам. Эти правила рассмотрены ниже.

Производная суммы и разности

Пусть даны функции f (x ) и g (x ), производные которых нам известны. К примеру, можно взять элементарные функции, которые рассмотрены выше. Тогда можно найти производную суммы и разности этих функций:

1. (f + g )’ = f ’ + g ’
2. (f − g )’ = f ’ − g ’

Итак, производная суммы (разности) двух функций равна сумме (разности) производных. Слагаемых может быть больше. Например, (f + g + h )’ = f ’ + g ’ + h ’.

Строго говоря, в алгебре не существует понятия «вычитание». Есть понятие «отрицательный элемент». Поэтому разность f − g можно переписать как сумму f + (−1) · g , и тогда останется лишь одна формула — производная суммы.

f (x ) = x 2 + sin x; g (x ) = x 4 + 2x 2 − 3.

Функция f (x ) — это сумма двух элементарных функций, поэтому:

f ’(x ) = (x 2 + sin x )’ = (x 2)’ + (sin x )’ = 2x + cos x;

Аналогично рассуждаем для функции g (x ). Только там уже три слагаемых (с точки зрения алгебры):

g ’(x ) = (x 4 + 2x 2 − 3)’ = (x 4 + 2x 2 + (−3))’ = (x 4)’ + (2x 2)’ + (−3)’ = 4x 3 + 4x + 0 = 4x · (x 2 + 1).

Ответ:
f ’(x ) = 2x + cos x;
g ’(x ) = 4x · (x 2 + 1).

Производная произведения

Математика — наука логичная, поэтому многие считают, что если производная суммы равна сумме производных, то производная произведения strike ">равна произведению производных. А вот фиг вам! Производная произведения считается совсем по другой формуле. А именно:

(f · g ) ’ = f ’ · g + f · g ’

Формула несложная, но ее часто забывают. И не только школьники, но и студенты. Результат — неправильно решенные задачи.

Задача. Найти производные функций: f (x ) = x 3 · cos x; g (x ) = (x 2 + 7x − 7) · e x .

Функция f (x ) представляет собой произведение двух элементарных функций, поэтому все просто:

f ’(x ) = (x 3 · cos x )’ = (x 3)’ · cos x + x 3 · (cos x )’ = 3x 2 · cos x + x 3 · (− sin x ) = x 2 · (3cos x − x · sin x )

У функции g (x ) первый множитель чуть посложней, но общая схема от этого не меняется. Очевидно, первый множитель функции g (x ) представляет собой многочлен, и его производная — это производная суммы. Имеем:

g ’(x ) = ((x 2 + 7x − 7) · e x )’ = (x 2 + 7x − 7)’ · e x + (x 2 + 7x − 7) · (e x )’ = (2x + 7) · e x + (x 2 + 7x − 7) · e x = e x · (2x + 7 + x 2 + 7x −7) = (x 2 + 9x ) · e x = x (x + 9) · e x .

Ответ:
f ’(x ) = x 2 · (3cos x − x · sin x );
g ’(x ) = x (x + 9) · e x .

Обратите внимание, что на последнем шаге производная раскладывается на множители. Формально этого делать не нужно, однако большинство производных вычисляются не сами по себе, а чтобы исследовать функцию. А значит, дальше производная будет приравниваться к нулю, будут выясняться ее знаки и так далее. Для такого дела лучше иметь выражение, разложенное на множители.

Если есть две функции f (x ) и g (x ), причем g (x ) ≠ 0 на интересующем нас множестве, можно определить новую функцию h (x ) = f (x )/g (x ). Для такой функции тоже можно найти производную:

Неслабо, да? Откуда взялся минус? Почему g 2 ? А вот так! Это одна из самых сложных формул — без бутылки не разберешься. Поэтому лучше изучать ее на конкретных примерах.

Задача. Найти производные функций:

В числителе и знаменателе каждой дроби стоят элементарные функции, поэтому все, что нам нужно — это формула производной частного:

По традиции, разложим числитель на множители — это значительно упростит ответ:

Сложная функция — это не обязательно формула длиной в полкилометра. Например, достаточно взять функцию f (x ) = sin x и заменить переменную x , скажем, на x 2 + ln x . Получится f (x ) = sin (x 2 + ln x ) — это и есть сложная функция. У нее тоже есть производная, однако найти ее по правилам, рассмотренным выше, не получится.

Как быть? В таких случаях помогает замена переменной и формула производной сложной функции:

f ’(x ) = f ’(t ) · t ’, если x заменяется на t (x ).

Как правило, с пониманием этой формулы дело обстоит еще более печально, чем с производной частного. Поэтому ее тоже лучше объяснить на конкретных примерах, с подробным описанием каждого шага.

Задача. Найти производные функций: f (x ) = e 2x + 3 ; g (x ) = sin (x 2 + ln x )

Заметим, что если в функции f (x ) вместо выражения 2x + 3 будет просто x , то получится элементарная функция f (x ) = e x . Поэтому делаем замену: пусть 2x + 3 = t , f (x ) = f (t ) = e t . Ищем производную сложной функции по формуле:

f ’(x ) = f ’(t ) · t ’ = (e t )’ · t ’ = e t · t ’

А теперь — внимание! Выполняем обратную замену: t = 2x + 3. Получим:

f ’(x ) = e t · t ’ = e 2x + 3 · (2x + 3)’ = e 2x + 3 · 2 = 2 · e 2x + 3

Теперь разберемся с функцией g (x ). Очевидно, надо заменить x 2 + ln x = t . Имеем:

g ’(x ) = g ’(t ) · t ’ = (sin t )’ · t ’ = cos t · t ’

Обратная замена: t = x 2 + ln x . Тогда:

g ’(x ) = cos (x 2 + ln x ) · (x 2 + ln x )’ = cos (x 2 + ln x ) · (2x + 1/x ).

Вот и все! Как видно из последнего выражения, вся задача свелась к вычислению производной суммы.

Ответ:
f ’(x ) = 2 · e 2x + 3 ;
g ’(x ) = (2x + 1/x ) · cos (x 2 + ln x ).

Очень часто на своих уроках вместо термина «производная» я использую слово «штрих». Например, штрих от суммы равен сумме штрихов. Так понятнее? Ну, вот и хорошо.

Таким образом, вычисление производной сводится к избавлению от этих самых штрихов по правилам, рассмотренным выше. В качестве последнего примера вернемся к производной степени с рациональным показателем:

(x n )’ = n · x n − 1

Немногие знают, что в роли n вполне может выступать дробное число. Например, корень — это x 0,5 . А что, если под корнем будет стоять что-нибудь навороченное? Снова получится сложная функция — такие конструкции любят давать на контрольных работах и экзаменах.

Задача. Найти производную функции:

Для начала перепишем корень в виде степени с рациональным показателем:

f (x ) = (x 2 + 8x − 7) 0,5 .

Теперь делаем замену: пусть x 2 + 8x − 7 = t . Находим производную по формуле:

f ’(x ) = f ’(t ) · t ’ = (t 0,5)’ · t ’ = 0,5 · t −0,5 · t ’.

Делаем обратную замену: t = x 2 + 8x − 7. Имеем:

f ’(x ) = 0,5 · (x 2 + 8x − 7) −0,5 · (x 2 + 8x − 7)’ = 0,5 · (2x + 8) · (x 2 + 8x − 7) −0,5 .

Наконец, возвращаемся к корням:

С правочные материалы по теме «производная». Базовый школьный уровень.
Теоретические сведения для учеников, преподавателей и репетиторов по математике. В помощь к проведению занятий.

Определение: производной функции в точке называется предел отношения приращения функции к приращению переменной, то есть

Таблица производных основных математических функций:

Правила вычисления производных

Производная суммы двух любых выражений равна сумме производных этих выражений (производная суммы равна сумме производных)

Производная разности двух любых выражений равна разности производных этих слагаемых (производная разности равна разности производных).

Производная от произведения двух множителей равна произведению производной первого множителя на второй плюс произведение первого множителя на производную второго (сумма поочередно взятых производных от множителей).
Комментарий репетитора по математике: когда я короткими фразами напоминаю ученику о правиле вычисления производной от произведения, я говорю так: производная первого множителя на второй плюс обмен штрихами!

Производная от частного двух выражений равна частному разности поочередно взятых производных от множителей и квадрата знаменателя.

Производная от произведения числа на функцию . Чтобы найти производную от произведения числа на буквенное выражение (на функцию) нужно умножить это число на производную этого буквенного выражения.

Производная сложной функции:

Для вычисления производной сложной функции необходимо найти производную внешней функции и умножить ее на производную внутренней функции.

Ваши комментарии и отзывы к странице с производными:
Александр С.
Очень нужна была таблица. В интернете одна из самых. За пояснения и правила тоже огромное спасибо. Хотя бы по одному примеру ещё к ним и вообще было бы отлично было. Еще раз огромное спасибо.

Колпаков А.Н, репетитор по математике: хорошо, постараюсь в ближайшее время дополнить страницу примерами.

Виртуальный математический справочник.
Колпаков Александр Николаевич, репетитор по математике.

Что такое производная функция - это основное математическое понятие, находится на одном уровне с интегралами, при анализе. Данная функция в определенной точке дает характеристику скорости изменений функции в данной точке.
Такие понятия как дифференцирование и интегрирование, первое расшифровывается как действие поиска производной, второе наоборот, восстанавливает функцию отталкиваясь от данной производной.
Вычислениям производной отводится важная часть в дифференциальных расчетах.
Для наглядного примера, изобразим производную на координатной плоскости.

в функции у=f(х) фиксируем точки М в которой (х0; f(X0)) и N f (x0+?x) к каждой абсциссе есть приращение в виде?x. Приращением называется процесс когда изменяется абсцисса, тогда меняется и ордината. Обозначается как?у.
Найдем тангенс угла в треугольнике MPN используя для этого точки М и N.

tg? = NP/MP = ?у/?x.

При?x идущем к 0. Пересекающая МN все ближе к касательной МТ и угол? будет?. Следовательно, tg ? максимальное значение для tg ?.

tg ? = lim от?x-0 tg ? = lim от?x-0 ?у/?x

Таблица производных

Если проговаривать формулировку каждой формулы производных . Таблица будет проще запоминаться.
1) Производная от постоянного значения равняется 0.
2) Х со штрихом равняется единице.
3) Если есть постоянный множитель, просто выносим ео за производную.
4) Чтобы найти производную степень, нужно показатель данной степени умножить на степень с таким же основанием, у которого показатель на 1 меньше.
5) Поиск корня равен одному, деленному 2 этих корня.
6) Производная одного, деленного на Х равняется одному разделенному на Х возведенный в квадрат, со знаком минус.
7) П синус равняется косинусу
8) П косинус равняется синусу со знаком минус.
9) П тангенс равняется одному, деленному на косинус в квадрате.
10) П котангенс равняется одному со знаком минус, деленная на синус в квадрате.

В дифференцировании также существуют правила, которые тоже проще выучить проговаривая их в слух.

1) Очень просто, п. слагаемых равняется их сумме.
2) Производная в умножении равняется умножению первого значения на второе, прибавляя к себе умножение второго значения на первое.
3) Производная в делении равняется умножению первого значения на второе, отнимая от себя умножение второго значения на первое. Дробь деления на второе значение в квадрате.
4) Формулировка является частным случаем третьей формулы.